大观资讯 生态风物 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=8.等比数列{aₙ}中a₁=1,a₄=8,求前n项和Sₙ

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=8.等比数列{aₙ}中a₁=1,a₄=8,求前n项和Sₙ

中给的是等比数列 {a_n},给的条件是:

  • 首项 a₁ = 1
  • 第四项 a₄ = 8
  • 前n项和为 S_n

我们现在只知道这两项,题目后面的部分被省略了(写着“...”),可能是要求某个关于S_n的问题,比如可能求 Sₙ 的表达式或者某个特定值,我们先推理出这个等比数列的通项和求和公式。


第一步:确定公比 q

等比数列的通项公式: [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ] [ a_4 = 1 \cdot q^{3} = 8 ] [ q^3 = 8 ] [ q = 2 ] 得出公比 q=2。


第二步:验证和写出通项公式

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=8.等比数列{aₙ}中a₁=1,a₄=8,求前n项和Sₙ

既然 a₁ = 1,q = 2, [ a_n = 2^{n-1} ] 这是标准等比数列,且q正数,没有正负号问题。


第三步:前n项和 Sₙ 公式

等比求和公式(q≠1): [ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ] 代入 a₁=1,q=2: [ S_n = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1 ] 非常简洁。

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=8.等比数列{aₙ}中a₁=1,a₄=8,求前n项和Sₙ


到现在我们已经完整知道这个等比数列的结构,由于原题后面是个“...”,不清楚具体问的是什么,常见考法可能是:

  1. 求Sₙ表达式(已经得出是2ⁿ - 1)
  2. 给Sₙ某个值,求n
  3. 或者求某个具体项数时的Sₙ数值
  4. 也可能问Sₙ在某范围内的性质。

你可以告诉我题目后续实际问的什么,或者我可以给出全部可能的答案供你参考:


如果是问Sₙ表达式,那么答案是: [ \boxed{2^n - 1} ]

如果要求比如S₅之类的,那就是: S₅ = 2⁵ - 1 = 31。

如果是知道Sₙ求n,比如Sₙ=63,解方程 2ⁿ - 1 = 63 ⇒ 2ⁿ=64 ⇒ n=6。

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作者: admin

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